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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点ECD上,DE=1,点F是边AB上一动点,以EF为斜边作RtEFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是________.

【答案】0或1<AF< 或4

【解析】

学习了圆周角的推论: 直径所对的圆周角是直角, 可提供解题思路, 可以以EF为直径作圆, 以边界值去讨论该圆与矩形ABCD交点的个数.

解:以EF为斜边的直角三角形的直角顶点P是以EF为直径的圆与矩形边的交点, EF的中点O,

(1) 如图1, 当圆OAD相切于点G, 连结OG, 此时点G与点P重合,只有一个点, 此时AF=OG=DE=1;

(2) 如图2,

当圆OBC相切于点G, 连结OG,EG, FG, 此时有三个点P可以构成RtEFP,

OG是圆O的切线,OGBC

OGABCD

OE=OF,

BG=CG,OG=(BF+CE),

AF=x, BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

EF=20G=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x)

RtEFG, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

(7-x)=10+1+(4-x)2,解得x=

所以当1<AF<,EF为直径的圆与矩形ABCD的交点 (除了点EF) 只有两个;

(3)因为点F是边AB上一动点:

当点FA点重合时, AF=4, 此时RtEFP正好有两个符合题意;

故答案为0或1<AF< 或4.

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