Question

【题目】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：如图，连接OA、OB、OC，

∵AB与⊙O切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°。

∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC。

在△ABO和△CBO中，∵，

∴△ABC≌△CBO（SSS）。∴∠BOC=∠OAC=90°。∴OC⊥BC。

∵OC是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线。

（2）连接BD，

∵△ABC≌△CBO，∴∠AOB=∠COB。

∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，CB=CD。

∴点O在BD上。

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD。

∴∠BOC=2∠ODC。

∵CB=CD，∴∠OBC=∠ODC。∴∠BOC=2∠OBC。

∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°。∴∠ABC=2∠OBC=60°

【解析】

试题（1）连接OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论。

（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可。