Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．

（1）求证：△BCF≌△ACD．

（2）猜想∠BEC的度数，并说明理由；

（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）BE=AE+CE．

【解析】

试题（1）由垂直的定义得到∠ACB=90°根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）取AB的中点M，连接CM，EM，根据圆周角定理即可得到结论；

（3）作CG⊥CE交BE于G，根据等腰直角三角形的性质得到CG=CE，根据全等三角形的性质得到BG=AE，于是得到结论．

试题解析：解：（1）∵BE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=90°﹣∠D，在△BCF和△ACD中，∵∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACD=90°，∴△BCF≌△ACD；

（2）∠BEC=45°．理由：取AB的中点M，连接CM，EM，则CM=EM=AB=AM=BM，∴点A，B，C，E在同一个圆（⊙M）上，∴∠BEC=∠BAC=45°；

（3）BE=AE+CE．证明如下：

作CG⊥CE交BE于G，∵∠BEC=45°，则∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，∴∠BGC=135°=∠AEC，EG=CE，在△BCG和△ACE中，∵∠1=∠2，∠BGC=∠AEC，BC=AC，∴△BCG≌△ACE，∴BG=AE，∴BE=BG+EG=AE+CE．