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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点D在AB的延长线上,且BD=6,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,以DE为直径的⊙O交AE于点F.

(1)求⊙O的半径;

(2)设CD交⊙O于点Q,①试说明Q为CD的中点②求BQ·BE的值.

【答案】(1)⊙O的半径为6;(2) ①证明见解析;②BQBE=36.

【解析】

(1)根据勾股定理求出AC证明△ACB∽△ADE根据相似三角形的性质求出DE即可得到⊙O的半径

(2)①连接EQ根据等腰三角形的三线合一证明

②连接BQ根据等腰三角形的性质得到BQCD得到BQE三点共线证明△BDQ∽△BED根据相似三角形的性质计算即可

1)∠ACB=90°,AB=10,BC=6,∴AC==8.

∵∠ACB=90°,DEAD,∴△ACB∽△ADE,∴====解得DE=12,AE=20,则⊙O的半径为6;

(2)①连接EQ

AE=20,AC=8,∴EC=ED=12.

DE为⊙O直径,∴∠EQD=90°,∴EQCDQ,∴QCD中点

②连接BQ

BC=BD=6,QCD中点,∴BQCD,∴BQE三点共线

∵∠BDQ+∠EDQ=90°,∠B=∠B,∴△BDQ∽△BED,∴=,∴BQBE=BD2=36.

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