【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点D在AB的延长线上,且BD=6,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,以DE为直径的⊙O交AE于点F.
(1)求⊙O的半径;
(2)设CD交⊙O于点Q,①试说明Q为CD的中点;②求BQ·BE的值.
【答案】(1)⊙O的半径为6;(2) ①证明见解析;②BQBE=36.
【解析】
(1)根据勾股定理求出AC,证明△ACB∽△ADE,根据相似三角形的性质求出DE,即可得到⊙O的半径;
(2)①连接EQ,根据等腰三角形的三线合一证明;
②连接BQ,根据等腰三角形的性质得到BQ⊥CD,得到B,Q,E三点共线,证明△BDQ∽△BED,根据相似三角形的性质计算即可.
(1)∠ACB=90°,AB=10,BC=6,∴AC==8.
∵∠ACB=90°,DE⊥AD,∴△ACB∽△ADE,∴==,即==,解得:DE=12,AE=20,则⊙O的半径为6;
(2)①连接EQ.
∵AE=20,AC=8,∴EC=ED=12.
∵DE为⊙O直径,∴∠EQD=90°,∴EQ⊥CD于Q,∴Q为CD中点;
②连接BQ.
∵BC=BD=6,Q为CD中点,∴BQ⊥CD,∴B,Q,E三点共线.
∵∠BDQ+∠EDQ=90°,∠B=∠B,∴△BDQ∽△BED,∴=,∴BQBE=BD2=36.
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【题目】如图,一次函数y=k1x+b的图象经过A(0,﹣2),B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M(m,4).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥MP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】一边长为4正方形放在平面直角坐标系中,其中为原点,点、分别在轴、轴上,为射线上任意一点
(1)如图1,若点坐标为,连接交于点,则的面积为__________;
(2)如图2,将沿翻折得,若点在直线图象上,求出点坐标;
(3)如图3,将沿翻折得,和射线交于点,连接,若,平面内是否存在点,使得是以为直角边的等腰直角三角形,若存在,请求出所有点坐标:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点F、C是⊙O上两点,且点C为弧BF的中点,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)判断线段AB、AF与AD之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,中,,,点在线段上运动(点不与、重合),连接,作,交线段于
(1)当时, ;
(2)当等于多少度时,≌?请说明理由;
(3)能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出的度数;若不能,请说明理由
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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线为抛物线、b、c为常数,的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点点A在点B的左侧,与x轴负半轴交于点C.
填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______;
如图,点M为线段CB上一动点,将以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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