Question

如图，在△ABC中，BD⊥AC，BD=AC，以BC为底边作等腰直角△BEC，连接AE并延长交BD于F点，下列结论：①△AEC≌△DEB；②AE⊥DE；③DE=DC；④S_△AEB=S_△CDE．其中正确的有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：①易证∠DBE=∠ACE，即可求证：△AEC≌△DEB；
②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；
③不能求证；
④根据②结论和AE=DE，即可求得E是AF中点，即可求得S_△AEB=S_△BFE，再证△BFE≌△CDE即可解题．

解答：解：

①∵∠DGC=∠CBG+∠GCB=∠CBG+45°，∠DGC+∠ACE=90°，
∴∠CBG+∠ACE=45°，
∵∠CBG+∠DBE=45°，
∴∠DBE=∠ACE，
∵在△AEC和△DEB中，

BE=CE ∠DBE=∠ACE BD=AC

，
∴△AEC≌△DEB，（SAS）；
故①正确；
②∵△AEC≌△DEB，
∴∠AEC=∠DEB，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∠DEB=∠BEC+∠CED，
∴∠AED=∠BEC=90°，
∴AE⊥DE；
故②正确；
③不能求证；
④∵AE=DE，AE⊥DE，
∴E为RT△ADF斜边AF上中点，∠DAF=∠DFE=ADE=45°．
∴AE=EF=DE，AD=DF，
∴S_△AEB=S_△BFE，
∵AC=BD，
∴BF=CD，
∵在△BFE和△CDE中，

BF=CD ∠BFE=∠CDE=135° EF=DE

，
∴△BFE≌△CDE，（SAS），
∴S_△CDE=S_△BFE，；
∴S_△AEB=S_△CDE，
故④正确；
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．