Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD＝BF；

（2）填空：

①若⊙O的半径为5，tanB＝，则CF＝　 　；

②若⊙O与BF相交于点H，当∠B的度数为　 　时，四边形OBHE为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①2；②60°

【解析】

（1）如图1中，连接OE．利用三角形的中位线定理证明BF＝2OE，再根据BD＝2OE即可证明．

（2）①如图1中，想办法求出BC，BF即可解决问题．

②结论：当∠B＝60°时，四边形BOEH是菱形．如图2中，连接OE，EH．首先证明OB∥EH，根据OE∥BC，推出四边形BOEH是平行四边形即可解决问题．

（1）证明：如图1中，连接OE．

∵AE是⊙O的切线，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴OE∥BC，

∵OB＝OD，

∴DE＝EF，

∴BF＝2OE，

∵BD＝2OE，

∴BD＝BF．

（2）①解：如图1中，由题意BD＝BF＝2OE＝10，

∵OE∥BC，

∴∠AOE＝∠B，

∴tan∠AOE＝tan∠B＝

∵OE＝5，

∴AE＝，

∵AE2＝ADAB，

∴＝AD（AD+10），

解得AD＝或﹣（舍弃）

∵∠ACB＝90°，设AC＝4k，BC＝3k，

则有（10+）2＝16k2+9k2，

解得k＝或﹣（舍弃），

∴BC＝3k＝8，

∴CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2．

故答案为2．

②解：结论：当∠B＝60°时，四边形BOEH是菱形．

理由：如图2中，连接OE，EH．

∵BD＝BF，∠B＝60°，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠BDE＝60°，

∵∠BHE+∠BDE＝180°，

∴∠BHE＝120°，

∴∠B+∠BHE＝180°，

∴OB∥HE，

∵OE∥BH，

∴四边形BOEH是平行四边形，

∵OB＝OE，

∴四边形BOEH是菱形．

故答案为60°．