【题目】如图甲,抛物线y=ax2+bx﹣1经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和直线BC的表达式.
(2)如图乙,点P为在第四象限内抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D.
①在点P运动过程中,四边形ACPB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
②是否存在点P使得以点O,C,D为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:,直线BC的表达式为:y=x﹣1;(2)①存在,最大值为2;②(,)或(1,﹣1)或(,﹣).
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣2)=ax2﹣ax﹣2a,即:﹣2a=﹣1,即可求解;用待定系数法即可求出直线BC的表达式.
(2) ①S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP=×AB×OC+×PD×OB,即可求解;
②分CD=OC、CD=OD、OC=OD三种情况分别求解即可.
解:(1)二次函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣2)=ax2﹣ax﹣2a,
即:﹣2a=﹣1,解得:a=,
故抛物线的表达式为:,点C(0,﹣1),
则直线BC的表达式为:y=kx﹣1,
将点B的坐标代入上式得:0=2k﹣1,解得:k=,
故直线BC的表达式为:y=x﹣1;
(2)①设点P(x, x2﹣x﹣1),则点D(x,x﹣1),
S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP=×AB×OC+×PD×OB
=×3×1+×2(x﹣1﹣x2+x+1)=﹣x2+x+,
∵﹣0,故S有最大值,当x=1时,S最大值为2;
②设点D坐标为(m,m﹣1),
则CD2=m2+m2,OC2=1,DO2=m2+(m﹣1)2=m2﹣m+1,
当CD=OC时,m2+m2=1,解得:m=,
同理可得:
当CD=OD时,m=1,
当OC=OD时,m=,
则点P坐标为(,)或(1,﹣1)或(,﹣).
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【题目】下面是甲、乙两校男、女生人数的统计图.
根据统计图回答问题:
(1)若甲校男生人数为273人,求该校女生人数;
(2)方方同学说:“因为甲校女生人数占全校人数的40%,而乙校女生人数占全校人数的45%,所以甲校的女生人数比乙校女生人数少”,你认为方方同学说的对吗?为什么?
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【题目】如图已知抛物线与轴交于点C(0,4),与轴交于A(,0)、B(,0),其中,为方程的两个根.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连结CQ,设Q(,0),△CQE的面积为,求关于的函数关系式及△CQE的面积的最大值;
(3)点M的坐标为(2,0),问:在直线AC上,是否存在点F,使得△OMF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】教材呈现:下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形,线段的垂直一部分线是线段的对称轴,如图直线是线段的垂直平分线,是上任一点,连结、,将线段与直线对称,我们发现与完全重合,由此都有:线段垂直平分线的性质定理,线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知:如图,,垂足为点,,点是直线上的任意一点.
求证:.
图中的两个直角三角形和,只要证明这两个三角形全等,便可证明(请写出完整的证明过程)
请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程,定理应用.
(1)如图②,在中,直线、、分别是边、、的垂直平分线.
求证:直线、、交于点.
(2)如图③,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点,若,,则的长为_______.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)填空:
①若⊙O的半径为5,tanB=,则CF= ;
②若⊙O与BF相交于点H,当∠B的度数为 时,四边形OBHE为菱形.
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【题目】某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛,赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计,制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
分数段(表示分数) | 频数 | 频率 |
4 | 0.1 | |
8 | ||
0.3 | ||
10 | 0.25 | |
6 | 0.15 |
(1)请求出该校随机抽取了____学生成绩进行统计;
(2)表中____,____,并补全直方图;
(3)若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况,则分数段对应扇形的圆心角度数是___;
(4)若该校共有学生8000人,请估计该校分数在的学生有多少人?
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【题目】某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用“场内+农户”养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率;
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点?
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【题目】图1是一种推磨工具模型,图2是它的示意图,已知AB⊥PQ,AP=AQ=3dm,AB=12dm,点A在中轴线l上运动,点B在以O为圆心,OB长为半径的圆上运动,且OB=4dm.
(1)如图3,当点B按逆时针方向运动到B′时,A′B′与⊙O相切,则AA′=__dm.
(2)在点B的运动过程中,点P与点O之间的最短距离为__dm.
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【题目】如图,抛物线经过,,三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点,使的值最小,求点的坐标;
(3)点为轴上一动点,在抛物线上是否存在一点,使以,,,四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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