【题目】如图已知抛物线与轴交于点C(0,4),与轴交于A(,0)、B(,0),其中,为方程的两个根.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连结CQ,设Q(,0),△CQE的面积为,求关于的函数关系式及△CQE的面积的最大值;
(3)点M的坐标为(2,0),问:在直线AC上,是否存在点F,使得△OMF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2), (其中:),△CQE的面积的最大值为3;(3)存在,点F的坐标为(1,3)或(2,2).
【解析】
(1)首先利用方程求出图象与x轴交点坐标,进而将C点坐标代入求出a的值即可;
(2)作EH⊥AB于点H,可得EH∥CO,根据QE∥AC,可得出比例关系,代入求出EH的长度,求出S△CQE,得出关系式,并求最大值;
(3)存在.利用待定系数法求出AC的解析式,设F(x,x+4),表示出OM、MF、OF的长度,要使△OMF是等腰三角形有三种情况:①OF=FM时,②OM=OF=2时,③OM=MF时,分别求出点F的坐标.
解:(1)解方程,
得:,,
∴A(4,0),B(-2,0),
设抛物线解析式为:,
将C(0,4)代入,解得:,
∴抛物线解析式为:
即.
(2)由Q(,0),可得:
BQ=,AQ=,
作EH⊥AB于点H,
∵EH∥CO,∴,
又∵QE∥AC,∴,
∴ ,即,
∴,
∵
,
即关于的函数关系式为:
,
(其中:),
∴△CQE的面积的最大值为3;
(3)存在.
理由如下:
设AC的解析式为:,AC过A(4,0)和C(0,4),
∴,解之得:,,
∴AC的解析式为:,
∵F在AC上,设F(,),
∴,
,,
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况:
①OF=FM时,F的横坐标应为1,
∴F(1,3);
②OF=OM=2时,,
化简得:,
∵,∴这种情况不存在;
③ OM=MF=2时,,
化简得:,
解得:,(舍去),
∴F(2,2),
综上所述,当△OMF是等腰三角形时,点F的坐标为(1,3)或(2,2).
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【题目】学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t= 分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟,乙的速度为 米/分钟;
(2)图中点A的坐标为 ;
(3)求线段AB所直线的函数表达式;
(4)在整个过程中,何时两人相距400米?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M).
(1)已知点E(0,4),
①直接写出d(点E)的值;
②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围;
(2)⊙T的圆心为T(7,t),半径为1.若d(⊙T)<11,请直接写出t的取值范围.
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【题目】为全面贯彻党的教育方针,坚持“健康第一”的教育理念,促进学生健康成长,提高体质健康水平,成都市调整体育中考实施方案:分值增加至60,男1000米(女800米)必考,足球、篮球、排球“三选一”…,从2019年秋季新入学的七年级起开始实施.某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况,从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷,通过分析整理绘制了如下两幅统计图.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求参与调查的学生中,喜爱排球运动的学生人数,并补全条形图;
(2)若该中学七年级共有400名学生,请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名?
(3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生,确定为该校足球运动员的重点培养对象,请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率.
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【题目】一方有难,八方支援. 在湖北武汉新冠肺炎疫情爆发期间,我市甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员参与了支援湖北武汉抗击疫情的任务.
(1)若从甲、乙两医院的援鄂医护人员中分别随机选1名,则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ;
(2)若从援鄂的4名医护人员中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率.
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【题目】如图,反比例函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),B两点,点C在第四象限,CA∥y轴,∠ABC=90°
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;
(2)求tanC的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与交于点A.过点A作轴的垂线,分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧,点C在点A右侧),则线段BC的长为____.
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【题目】如图甲,抛物线y=ax2+bx﹣1经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和直线BC的表达式.
(2)如图乙,点P为在第四象限内抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D.
①在点P运动过程中,四边形ACPB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
②是否存在点P使得以点O,C,D为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
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