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【题目】如图已知抛物线与轴交于点C(04),与轴交于A(0)B(0),其中为方程的两个根.

1)求该抛物线的解析式;

2)点Q是线段AB上的动点,过点QQEAC,交BC于点E,连结CQ,设Q(0),△CQE的面积为,求关于的函数关系式及△CQE的面积的最大值;

3)点M的坐标为(20),问:在直线AC上,是否存在点F,使得△OMF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2 (其中:),△CQE的面积的最大值为3;(3)存在,点F的坐标为(13)(22)

【解析】

1)首先利用方程求出图象与x轴交点坐标,进而将C点坐标代入求出a的值即可;
2)作EHAB于点H,可得EHCO,根据QEAC,可得出比例关系,代入求出EH的长度,求出SCQE,得出关系式,并求最大值;
3)存在.利用待定系数法求出AC的解析式,设Fxx4),表示出OMMFOF的长度,要使△OMF是等腰三角形有三种情况:①OFFM时,②OMOF2时,③OMMF时,分别求出点F的坐标.

解:(1)解方程

得:

A(40)B(20)

设抛物线解析式为:

C(04)代入,解得:

∴抛物线解析式为:

2)由Q(0),可得:

BQAQ

EHAB于点H

EHCO,∴

又∵QEAC,∴

,即

关于的函数关系式为:

(其中:)

∴△CQE的面积的最大值为3

3)存在.

理由如下:

AC的解析式为:ACA(40)C(04)

,解之得:

AC的解析式为:

FAC上,设F()

若△OMF是等腰三角形可能有三种情况:

OFFM时,F的横坐标应为1

F(13)

OFOM2时,

化简得:

,∴这种情况不存在;

OMMF2时,

化简得:

解得:(舍去)

F(22)

综上所述,当OMF是等腰三角形时,点F的坐标为(13)(22)

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