Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
（1）已知点E（0，4），
①直接写出d（点E）的值；
②直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；

（2）⊙T的圆心为T(7，t)，半径为1．若d(⊙T)＜11，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k≤-1或k≥1；（3）．

【解析】

（1）①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d（点E）的值为5；
②由d（点E）=5得出d（线段EF）的最小值是5，得出符合题意的点F满足d（点F）≤5，求出当d（点F）=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（-4，0），代入y=kx+4求出k的值，再结合函数图象即可得出结果；

（2）⊙T的圆心为T(7，t)，半径为1，当d（⊙T）=11时，BM=BN=11，OH=7，得出T1B=T2B=10，BH=OB+OH=1+7=8，由勾股定理求出T1H和T2H，即可得出结果.

解：（1）①∵正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0），点E（0，4）在y轴上，
∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，
即d（点E）的值为5；
②如图1所示：∵d（点E）=5，
∴d（线段EF）的最小值是5，
∴符合题意的点F满足d（点F）≤5，
当d（点F）=5时，BF1=DF2=5，
∴点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（-4，0），
将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，
解得：k=-1，
将点F2的坐标代入y=kx+4得：0=-4k+4，
解得：k=1，
∴k=-1或k=1．
∴当d（线段EF）取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤-1，EF2直线y=kx+4中k≥1，
∴当d（线段EF）取最小值时，k的取值范围为：k≤-1或k≥1；

（2）⊙T的圆心为T（7，t），半径为1，

当d（⊙T）=11时，如图2所示：
BM=BN=11，OH=7，
∴T1B=T2B=10，BH=OB+OH=1+7=8，
∴T1H=，T2H=，

∴t的取值范围为：-6＜t＜6．