Question

4．大豆是一种非常受欢迎的农作物，已知种植某种大豆的平均产量为2.5吨/公顷，所需成本为8千元/公顷，某地销售大豆的单价y千元/吨与种植大豆的面积x公顷之间关系如图所示：
为了鼓励农民种植粮食的热情，市政府出台相关政策：对本市种植大豆的农户按保护价4，5千元/吨进行补偿（即当销售单价低于4.5千元/吨时，差价由政府提供补助，比如销售单价为4千元/吨，则政府补贴农户0.5千元/吨，若单价不少于4.5千元/吨时，则不补助）．
（1）若该市计划种植大豆300公顷，销售后是否享受政府补贴？若享受，则补贴总金额是多少千元？
（2）设该市销售大豆获得的利润（不含政府补贴部分）为w千元，当种植面积为多少公顷时，利润最大，最大利润是多少千元？
注：销售利润=（销售单价×每公顷产量-每公顷成本）×公顷数
（3）为保证所得的总利润（含可能得到的政府补贴）达到748千元，应该种植多少公顷大豆？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得销售大豆的单价y千元/吨与种植大豆的面积x公顷之间关系式，进一步代入x=300，求得y，进一步判定即可；
（2）利用销售利润=（销售单价×每公顷产量-每公顷成本）×公顷数列出函数解析式，利用配方法解答即可；
（3）利用（2）中求得的函数解析式与748建立方程求得答案即可．

解答 解：（1）设销售大豆的单价y千元/吨与种植大豆的面积x公顷之间关系式为y=kx+5，
代入（100，4.8）得k=-$\frac{1}{500}$，
则y=-$\frac{1}{500}$x+5，
当x=300时，y=-$\frac{1}{500}$×300+5=4.4，
补贴总金额是（4.5-4.4）×300×2.5=75（千元）．
答：销售后享受政府补贴，则补贴总金额是75千元．
（2）由题意得W=2.5x（-$\frac{1}{500}$x+5）-8x=-$\frac{1}{200}$x²+4.5x=-$\frac{1}{200}$（x-450）²+1012.5．
即当x=450时，W取得最大值，也就是当种植面积为450公顷时，利润最大，最大利润是1012.5千元．
（3）①所得总利润不享受政府补贴时达到748千元，
由题意得-$\frac{1}{200}$x²+4.5x=748，
解得：x=220或x=680．
当x=220公顷时，y=4.56千元＞4.5，不享受政府补贴；
当x=6800公顷时，y=3.64千元＜4.5，享受政府补贴（舍去）；
②所得总利润享受政府补贴时达到748千元，
当y=-$\frac{1}{500}$x+5=4.5时，x=250，
销售利润w=（4.5×2.5-8）x=748，解得x≈230＜250（舍去）；
答：应该种植220公顷公顷大豆．

点评 此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．