Question

3．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD的中点，作BE的中垂线GH，垂足为M，则GM：MH的值为（　　）

• A． 4：1
• B． 3：1
• C． 3：2
• D． 5：2

Answer 1

分析 根据正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出△BCE≌△HFG（ASA），则BE=HG，再推出△BHM∽△BEC，进而利用相似三角形的性质得出答案．

解答 解：过点H作HF⊥AD于点F，交BE于点N，
由题意可得：∠BHM+∠GHF=90°，
∠HBM+∠BHM=90°，
则∠CBE=∠GHF，
在△BCE和△HFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FHG}\\{BC=HF}\\{∠C=∠HFG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△HFG（ASA），
∴BE=HG，
∵∠BMH=∠C，∠CBE=∠MBH，
∴△BHM∽△BEC，
∵E为CD的中点，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{HM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
设HM=x，则BM=2x，故BE=HG=4x，
则MG=4x-x=3x，
故GM：MH的值为：3：1．
故选：B．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，正确得出BE=HG是解题关键．