Question

【题目】如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m．

①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积；

②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，G是直线AC上一点，F是抛物线上一点，是否存在点G，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①，②F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）．

【解析】分析：（1）先求出A、B两点的坐标，再代入抛物线y=﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；

（2）①先用m表示出PM的长，再求出抛物线的对称轴及PQ的长，利用矩形的面积公式可得出其周长的解析式，进而可得出矩形面积的最大值，求出C点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

②根据C点坐标得出P点坐标，故可得出PC的长，再分点F在点G的上方与点F在点G的下方两种情况进行讨论即可．

详解：（1）∵直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣=﹣=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2，∴矩形PQMN的周长=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，当m=﹣2时，矩形PQMN的周长最大，此时点C的坐标为（﹣2，1），CM=AM=1，∴S△ACM=×1×1=；

②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．

∵点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形，GF∥y轴，∴GF∥PC，且GF=PC．

设G（x，x+3），则F（x，﹣x2﹣2x+3），当点F在点G的上方时，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；

当点F在点G的下方时，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得：x=或x=．

当x=时，﹣x2﹣2x+3=；

当x=时，﹣x2﹣2x+3=，

故F2（），F3（）．

综上所示，点F的坐标为F1（﹣1，4），F2（），F3（）．