Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0．

（1）求证：n＜0；

（2）试用k的代数式表示x1；

（3）当n＝﹣3时，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．（3）k＝1．

【解析】

（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，由此即可证得结论；（2）根据根与系数的关系，把x1+x2＝k代入已知条件（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，即可用k的代数式表示x1；（3）首先由（1）知n＜﹣k2，又n＝﹣3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值．

证明：（1）∵关于x的方程x2﹣kx+k2+n＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝k2﹣4（k2+n）＝﹣3k2﹣4n＞0，

∴n＜﹣k2．

又﹣k2≤0，

∴n＜0．

解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k，

∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15＝0

∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15＝0

∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0

∴x1+k＝3或x1+k＝5，

∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．

（3）∵n＜﹣k2，n＝﹣3，

∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．

原方程化为：x2﹣kx+k2﹣3＝0，

把x1＝3﹣k代入，得到k2﹣3k+2＝0，

解得k1＝1，k2＝2（不合题意），

把x2＝5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22＝0，△＝﹣39＜0，所以此时k不存在．

∴k＝1．