Question

6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．
（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=$\frac{4}{5}$，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．欲证PD是⊙O的切线，只需证明OD⊥PD即可；通过全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的对应角∠OCP=∠ODP=90°来证明该结论；
（2）作FM⊥AB于点M，先求得∠3=∠APC，从而求得$cos∠3=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$，得出CE=4，OE=3，然后证得△OFM≌△OCE，得出FM=CE=4，OM=OE=3．
在Rt△OCE中，$cos∠APC=\frac{PC}{OP}=\frac{4}{5}$，设PC=4k，OP=5k，则OC=3k，进而得出$k=\frac{5}{3}$，从而求得$PE=OP-OE=\frac{16}{3}$，$PM=OP+OM=\frac{34}{3}$，
通过△PGE∽△PFM得出$\frac{GE}{FM}=\frac{PE}{PM}$，即可求得EG的长．

解答 （1）PD与⊙O相切于点D；
证明：连接OD
∵在⊙O中，OD=OC，AB⊥CD于点E，
∴∠COP=∠DOP． 
在△OCP和△ODP中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠COP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△OCP≌△ODP（SAS）．
∴∠OCP=∠ODP．
又∵PC切⊙O于点C，OC为⊙O半径，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°．
∴∠ODP=90°．
∴OD⊥PD于点D．
∴PD与⊙O相切于点D．

（2）作FM⊥AB于点M．
∵∠OCP=90°，CE⊥OP于点E，
∴∠3+∠4=90°，∠APC+∠4=90°．
∴∠3=∠APC．
∵$cos∠APC=\frac{4}{5}$，
∴Rt△OCE中，$cos∠3=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$．
∵CF=10，
∴$OF=OC=\frac{1}{2}CF=5$．
∴CE=4，OE=3．
又∵FM⊥AB，AB⊥CD，
∴∠FMO=∠CEO=90°．
在△OFM和△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠1}\\{∠FMO=∠CEO}\\{OF=OC}\end{array}\right.$
∴△OFM≌△OCE（AAS）．
∴FM=CE=4，OM=OE=3．
∵在Rt△OCE中，$cos∠APC=\frac{PC}{OP}=\frac{4}{5}$，设PC=4k，OP=5k，
∴OC=3k．
∴3k=5，$k=\frac{5}{3}$．
∴$OP=\frac{25}{3}$．
∴$PE=OP-OE=\frac{16}{3}$，$PM=OP+OM=\frac{34}{3}$．
又∵∠FMO=∠GEP=90°，
∴FM∥GE．
∴△PGE∽△PFM．
∴$\frac{GE}{FM}=\frac{PE}{PM}$，即$\frac{GE}{4}=\frac{{\frac{16}{3}}}{{\frac{34}{3}}}$．
∴$GE=\frac{32}{17}$．

点评 本题考查了切线的判断和性质，三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，直角三角函数等，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．