Question

【题目】已如两个全等的等腰△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在的直线）于M、N．

（1）如图1，当线段EF经过△ABC的顶点时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，已知AC=BC=5，则MC=　 　；

（2）如果2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；

（3）如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，则（2）中AM，MN，CN之间的等量关系还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据AC=BC，E为AB中点，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，∠A=∠ACE=45°，AE=CE，再根据DF=EF，∠DFE=90°，得出∠FED=45°，∠FED=∠AEC，即可得出AM=MC；

（2）先在AM截取AH，使得AH=CN，连接EH，根据AE=CE，∠A=∠BCE=45°证出△AHE≌△CNE，HE=NE，∠AEH=∠CEN，∠HEM=∠AEC﹣∠AEH﹣MEC=∠AEC﹣∠CEN﹣MEC=∠AEC﹣∠MEF=90°﹣45°=45°，∠HEM=∠NEM=45°然后证出△HEM≌△NEM，HM=MN，最后根据AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案；

（3）先在CB上截取CH=AM，根据SAS证得△AEM≌△CEH，得出EM=EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，再根据∠MEN和∠AEC的度数，得出∠CEH+∠CEN=∠HEN=45°，再在△EMN和△EHN中，根据SAS证得△EMN≌△EHN，得出MN=HN，即可求出答案．

解：（1）∵AC=BC，E为AB中点，

∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，

∴∠A=∠ACE=45°，

∴∠AEC=90°，AE=CE，

∵DF=EF，∠DFE=90°，

∴∠FED=45°，

∴∠FED=∠AEC，

又∵AE=CE，

∴AM=MC=AC=，

故答案为：；

（2）AM=MN+CN，理由如下：

如图2，在AM截取AH，使得AH=CN，连接EH，

由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°

∵在△AHE与△CNE中：

，

∴△AHE≌△CNE（SAS），

∴HE=NE，∠AEH=∠CEN，

∴∠HEM=∠AEC﹣∠AEH﹣MEC=∠AEC﹣∠CEN﹣MEC=∠AEC﹣∠MEF=90°﹣45°=45°，

∴∠HEM=∠NEM=45

∵在△HEM与△NEM中：

，

∴△HEM≌△NEM（SAS），

∴HM=MN，

∴AM=AH+HM=CN+MN，

即AM=MN+CN；

（3）猜得：MN=AM+CN，理由如下：

如图3，在CB上截取CH=AM，连接EH，

在△AEM和△CEH中，

，

∴△AEM≌△CEH（SAS），

∴EM=EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，

∵∠MEN=45°，∠AEC=90°，

∴∠AEM+∠CEN=45°，

∴∠CEH+∠CEN=∠HEN=45°，

∵∠MEN=∠HEN，

在△EMN和△EHN中，

，

∴△EMN≌△EHN（SAS），

∴MN=HN，

∴MN=CH+CN，

∴MN=AM+CN．