Question

【题目】如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系．

(1)如图(a)，已知AB∥CD，求证：∠BPD=∠B+∠D．

(2)如图(b)，已知AB∥CD，求证：∠BOD=∠P+∠D．

(3)根据图(c)，试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2) ∠BOD=∠P+∠D； (3) ∠BPD=∠B+∠BQD+∠D，理由见解析

【解析】

（1）过点P作PE∥AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；

（2）过点P作PE∥CD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；

（3）数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，由平行线的性质得出“∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，∠D=∠DPE”，再根据角之间的关系即可得出结论．

（1）证明：过点P作PE∥AB，如图1所示．

∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）

∴AB∥PE∥CD．（在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行）

∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D．（等量代换）

（2）证明：过点P作PE∥CD，如图2所示．

∵PE∥CD，（辅助线）

∴∠BOD=∠BPE，（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D，（等量代换）

即∠BOD=∠P+∠D．（等量代换）

（3）解：数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．

理由如下：

过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，如图3所示．

则BF∥PE∥CD，

∴∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，（两直线平行，同旁内角互补）

∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∵∠FBA=∠FBP+∠B，

∴∠BPE=∠BQD+∠B，

∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D．（等量代换）