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【题目】如图,平面内的直线有相交和平行两种位置关系.

(1)如图(a),已知ABCD,求证:∠BPD=B+D

(2)如图(b),已知ABCD,求证:∠BOD=P+D

(3)根据图(c),试判断∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)见解析; (2)BOD=P+D (3)BPD=B+BQD+D,理由见解析

【解析】

1)过点PPEAB,由平行线的性质两直线平行,内错角相等得出∠B=BPE、∠D=DPE,结合角之间的关系即可得出结论;

2)过点PPECD,根据平行线的性质即可得出∠BOD=BPE、∠D=DPE,结合角之间的关系即可得出结论;

3)数量关系:∠BPD=B+BQD+D.过点PPECD,过点BBFPE,由平行线的性质得出FBA+BQD=180°,∠FBP+BPE=180°,∠D=DPE”,再根据角之间的关系即可得出结论.

1)证明:过点PPEAB,如图1所示.

ABPEABCD,(已知)

ABPECD.(在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行)

∴∠B=BPE,∠D=DPE,(两直线平行,内错角相等)

∴∠BPD=BPE+DPE=B+D.(等量代换)

2)证明:过点PPECD,如图2所示.

PECD,(辅助线)

∴∠BOD=BPE,(两直线平行,同位角相等);∠D=DPE,(两直线平行,内错角相等)

∴∠BPE=BPD+DPE=BPD+D,(等量代换)

即∠BOD=P+D.(等量代换)

3)解:数量关系:∠BPD=B+BQD+D

理由如下:

过点PPECD,过点BBFPE,如图3所示.

BFPECD

∴∠FBA+BQD=180°,∠FBP+BPE=180°,(两直线平行,同旁内角互补)

D=DPE,(两直线平行,内错角相等)

∵∠FBA=FBP+B

∴∠BPE=BQD+B

∴∠BPD=BPE+DPE=BQD+B+D.(等量代换)

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