【题目】如图,平面内的直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图(a),已知AB∥CD,求证:∠BPD=∠B+∠D.
(2)如图(b),已知AB∥CD,求证:∠BOD=∠P+∠D.
(3)根据图(c),试判断∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析; (2) ∠BOD=∠P+∠D; (3) ∠BPD=∠B+∠BQD+∠D,理由见解析
【解析】
(1)过点P作PE∥AB,由平行线的性质“两直线平行,内错角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE,结合角之间的关系即可得出结论;
(2)过点P作PE∥CD,根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE,结合角之间的关系即可得出结论;
(3)数量关系:∠BPD=∠B+∠BQD+∠D.过点P作PE∥CD,过点B作BF∥PE,由平行线的性质得出“∠FBA+∠BQD=180°,∠FBP+∠BPE=180°,∠D=∠DPE”,再根据角之间的关系即可得出结论.
(1)证明:过点P作PE∥AB,如图1所示.
∵AB∥PE,AB∥CD,(已知)
∴AB∥PE∥CD.(在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠B=∠BPE,∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D.(等量代换)
(2)证明:过点P作PE∥CD,如图2所示.
∵PE∥CD,(辅助线)
∴∠BOD=∠BPE,(两直线平行,同位角相等);∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D,(等量代换)
即∠BOD=∠P+∠D.(等量代换)
(3)解:数量关系:∠BPD=∠B+∠BQD+∠D.
理由如下:
过点P作PE∥CD,过点B作BF∥PE,如图3所示.
则BF∥PE∥CD,
∴∠FBA+∠BQD=180°,∠FBP+∠BPE=180°,(两直线平行,同旁内角互补)
∠D=∠DPE,(两直线平行,内错角相等)
∵∠FBA=∠FBP+∠B,
∴∠BPE=∠BQD+∠B,
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D.(等量代换)
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【题目】已如两个全等的等腰△ABC、△DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°,E为AB中点,△DEF可绕顶点E旋转,线段DE,EF分别交线段CA,CB(或它们所在的直线)于M、N.
(1)如图1,当线段EF经过△ABC的顶点时,点N与点C重合,线段DE交AC于M,已知AC=BC=5,则MC= ;
(2)如果2,当线段EF与线段BC边交于N点,线段DE与线段AC交于M点,连MN,EC,请探究AM,MN,CN之间的等量关系,并说明理由;
(3)如图3,当线段EF与BC延长线交于N点,线段DE与线段AC交于M点,连MN,EC,则(2)中AM,MN,CN之间的等量关系还成立吗?请说明理由.
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【题目】在如图所示的方格图中,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”,根据图形,回答下列问题.
(1)图中格点三角形A′B′C′是由格点三角形ABC通过怎样的变换得到的?
(2)如果以直线a,b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(-3,4),请求出三角形DEF的面积S.
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【题目】小华在暑假社会实践过程中,以每千克0.5元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售,在销售了40千克西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示,请你根据图象提供的信息完成以下问题:
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的关系式?
(2)小华从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小华这次卖瓜赚了多少钱?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别为AD、DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度( )
A. 逐渐增加 B. 逐渐减小
C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等
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【题目】小明在暑期社会实践活动中,以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售,在销售了40千克西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题:
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式.
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=1,求AD的长.
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