Question

【题目】将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．
（Ⅰ）如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（Ⅱ）如图②，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥OA交E′F于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若OG=2 ，求△D′TF的面积．（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，

∴DC=OC=10．

在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，

∴BD= =8．

在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6﹣OE，

∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6﹣OE）2，

解得 OE= ，

∴E点的坐标为（0， ）；

（Ⅱ）∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，

∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，

∵D′G∥AO，

∴∠OE′F=∠D′TE′，

∴∠D′E′F=∠D′TE′，

∴D′T=D′E′=OE′，

∴TG=AE′；

∵T（x，y），

∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6﹣y．

在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，

∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6﹣y）2，

整理，得y=﹣ x2+3；

由（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，

当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，

此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，

故变量x的取值范围是2≤x≤6．

（Ⅲ）∵T的坐标为（x，y），y=﹣ x2+3，OG=2 ，

∴GT=y=﹣ ×12+3=2，AD'=OG=2 ，

∴DT=6﹣2=4，

作FM⊥AB于M，则FM=BC=6，∠FMD'=90°=∠A，

∴∠1+∠2=90°，

由折叠的性质得：∠ED'F=∠AOC=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△D'MF∽△EAD'，

∴ = ，即 = = ，

设E'O=ED'=x，则AE'=6﹣x，

在Rt△AD'E'中，由勾股定理得：（2 ）2+（6﹣x）2=x2，

解得：x=4，

∴OF=D'F=4 ，

∴GF=OF﹣OG=2 ，

∴△D′TF的面积= D'TGF= ×4×2 =4 ．

【解析】（1）利用折叠性质和勾股定理，构建方程，即可求出E坐标；（2）利用折叠的性质、勾股定理构建方程，变形为函数解析式形式即可；（3）由折叠可得相似三角形，对应边成比例可求出E'O,进一步求出面积.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用翻折变换（折叠问题）和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．