Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点o作射线OG、ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
⑴图形中全等的三角形只有两对；
⑵正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
⑶BE+BF= OA；
⑷AE2+CF2=2OPOB．
正确的结论有（ ）个．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：⑴错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；

⑵正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积= 正方形ABCD的面积；

⑶正确．BE+BF=AB= OA；

⑷正确．

AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=（ OF）2=2OF2，

在△OPF与△OFB中，

∠OBF=∠OFP=45°，

∠POF=∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

OP：OF=OF：OB，

OF2=OPOB，

AE2+CF2=20POB．

另法：AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PEPF．

作OM⊥EF，M为垂足．

∵OE=OF，

∴OM=ME=MF．

PE2+PF2=（ME﹣MP）2+（MF+MP）2=2（MO2+MP2）=2OP2．

∵O、E、B、F四点共圆，

∴PEPF=OPPB，

∴AE2+CF2=2OP2+2OPPB=2OP（OP+PB）=2OPOB．

所以答案是：C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．