Question

【题目】如图，四边形 ABCD 中， AC 平分 ∠ DAB ， ∠ ADC= ∠ ACB=90° ， E 为 AB 的中点，连接 CE ， DE ． AC 与 DE 相交于点 F ．

（1）求证： △ ADF ∽△ CEF ；

（2）若 AD=4 ， AB=6 ，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由角平分线的定义证明 ∠ DAC= ∠ CAB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等边对等角，证明 ∠ DAC= ∠ ECA ，得到 CE ∥ AD ，进而得到 △ ADF ∽△ CEF ；

（2）由△ AFD ∽△ CFE ；根据相似三角形的性质得出 AD ∶CE=AF ：CF ；进而得出答案．

（1）证明： ∵ AC 平分 ∠ DAB ，

∴∠ DAC= ∠ CAB ，

∵ E 为 AB 的中点，

∴ CE=AB=AE ，

∴∠ EAC= ∠ ECA ；

∵∠ DAC= ∠ CAB ，

∴∠ DAC= ∠ ECA ，

∴CE∥AD

∴△ ADF ∽△ CEF ，

（2）∵△ AFD ∽△ CFE ，

∴ AD∶ CE=AF ∶CF ；

∵ CE=AB=3 ， AD=4 ，

∴

∴

∴=