【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当t=时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似;(2)当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是.
【解析】
试题分析:根据勾股定理求得AB=5cm.
(1)分类讨论:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;
(2)如图,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=(t﹣)2+(0<t<2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.
解:∵如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.
∴根据勾股定理,得=5cm.
(1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①当△AMP∽△ABC时,=,即=,
解得t=;
②当△APM∽△ABC时,=,即=,
解得t=0(不合题意,舍去);
综上所述,当t=时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似;
(2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:
假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.
如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC,
∴=,即=,
∴PH=t,
∴S=S△ABC﹣S△BPN,
=×3×4﹣×(3﹣t)t,
=(t﹣)2+(0<t<2.5).
∵>0,
∴S有最小值.
当t=时,S最小值=.
答:当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有两根木棒长分别为10cm和18cm,要钉成一个三角形木架,则下列四根木棒应选取( )
A. 8cm B. 12cm C. 30cm D. 40cm
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= .
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