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【题目】如图,在RtABC中,C=90°AC=4cmBC=3cm.动点MN从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CACB向终点AB移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PMPN,设移动时间为t(单位:秒,0t2.5).

1)当t为何值时,以APM为顶点的三角形与ABC相似?

2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】1t=时,以APM为顶点的三角形与ABC相似;2t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是

【解析】

试题分析:根据勾股定理求得AB=5cm

1)分类讨论:AMP∽△ABCAPM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;

2)如图,过点PPHBC于点H,构造平行线PHAC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=SABC﹣SBPH列出St的关系式S=t﹣2+0t2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.

解:如图,在RtABC中,C=90°AC=4cmBC=3cm

根据勾股定理,得=5cm

1)以APM为顶点的三角形与ABC相似,分两种情况:

AMP∽△ABC时,=,即=

解得t=

APM∽△ABC时,=,即=

解得t=0(不合题意,舍去);

综上所述,当t=时,以APM为顶点的三角形与ABC相似;

2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:

假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.

如图,过点PPHBC于点H.则PHAC

=,即=

PH=t

S=SABC﹣SBPN

=×3×4﹣×3﹣tt

=t﹣2+0t2.5).

0

S有最小值.

t=时,S最小值=

答:当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是

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