已知：抛物线y=-x2+bx+c的图象交y轴于点C，一次函数y=-x+m交y轴于点D，交抛物线于A、B两点，B（6，-3），且AB=2AD．分析 （1）将点B的坐标代入直线的解析式可求得m=3，可得到一次函数的解析式为y=-x+3，从而可求得点D的坐标为（0，3）由AB=2AD可求得点A的坐标为（2，1），然后将点A、B的坐标代入直线的解析式，可求得b、c的值；
（2）将点x=n代入一次函数的解析式可求得点P的纵坐标，将x=n代入抛物线的解析式可求得点Q的纵坐标，从而可得到QP的长度，然后依据三角形的面积公式可列出S与n的函数关系式；
（3）作圆E过点A、Q、B，圆E交QP于点F，作点F关于AB的对称点F′，由二次函数的性质可知当点P的坐标为（4，-1）时，S有最大值，然后求得AQ、AB、BQ的长度，依据勾股定理的逆定理可知△ABQ为直角三角形，从而可知点E在x轴上，由垂径定理可求得点F的坐标，利用待定系数法可求得AF的解析式，然后直线AF与抛物线的交点坐标即可求得R的坐标，由轴对称的性质可求得点F′的坐标，同理可求得直线AF′与抛物线的交点坐标，从而可求得点R的坐标．
解答 解：（1）∵点B（6，-3）在直线y=-x+m上，
∴-6+m=-3．
解得：m=3．
∴一次函数的解析式为y=-x+3．
∴点D的坐标为（0，3）．
又∵点B（6，-3），且AB=2AD，
∴点A的坐标为（2，1）．
将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=1}\\{-36+6b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{c=-9}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x2+7x-9．
（2）如图1所示：
∵点P的横坐标为n，
∴点P的纵坐标为-n+3，点Q的纵坐标为-n2+7n-9．
∴QP=-n2+7n-9-（-n+3）=-n2+8n-12．
∵△AQB的面积为S=$\frac{1}{2}QP×（{B}_{x}-{A}_{x}）$，
∴S=$\frac{1}{2}×4×$（-n2+8n-12）=-2n2+16n-24．
∴S与n的函数关系式为S=-2n2+16n-24（2＜n＜6）．
（3）当n=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{16}{-2×2}$=4时，S有最大值．
∴点P的坐标为（4，-1），点Q的坐标为（4，3）．
如图2所示，作圆E过点A、Q、B，圆E交QP于点F，作点F关于AB的对称点F′．
∵由两点之间的距离公式可知；AQ2=（4-2）2+（3-1）2=8；QB2=（6-4）2+（-3-3）2=40；AB2=（6-2）2+（-3-1）2=32．
∴AQ2+AB2=QB2．
∴△AQB为直角三角形．
∴QB为圆E的直径．
∴E为Q、B的中点．
∴点E的坐标为（5，0）．
∵点E在x轴上，QP⊥x轴，
∴QG=FG．
∴点F的坐标为（4，-3）．
设直线AF的解析式为y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=-3}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直线AF的解析式为y=-2x+5．
将y=-2x+5与y=-x2+7x-9联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=7}\\{{y}_{2}=-9}\end{array}\right.$．
∴R的坐标为（7，-9）．
∵点F′与点F关于AB对称，
∴点F′的坐标为（6，-1）．
设直线AF′的解析式为y=k1x+b1，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{6{k}_{1}+{b}_{1}=-1}\\{2{k}_{1}+{b}_{1}=1}\end{array}\right.$．
解得：${k}_{1}=-\frac{1}{2}$，b1=2．
∴直线AF′的解析式为y=$-\frac{1}{2}x$+2．
将y=$-\frac{1}{2}x$+2与y=-x2+7x-9联立解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5.5}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$．
∴R的坐标为（5.5，-$\frac{3}{4}$）．
综上所述，点R的坐标为（5.5，-$\frac{3}{4}$）或（7，-9）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式、圆的性质、待定系数法求函数的解析式、垂径定理，构造出过点A、B、Q三点的圆是解题的关键．
优生乐园系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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如图，已知BD=CE，∠1=∠2，求证：AB=AC．