Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．
（1）求证：∠CBE=∠A；
（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，根据圆周角定理求出∠A=∠M，∠MCB=90°，求出∠M+∠MBC=90°，根据切线性质求出∠CBE+∠MBC=90°，推出∠CBE=∠M即可；
（2）过点C作CN⊥DE于点N，求出∠CNF=90°，求出tanM=tan∠CBE=tanA=2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，
∴∠A=∠M，∠MCB=90°，
∴∠M+∠MBC=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠CBE+∠MBC=90°，
∴∠CBE=∠M，
∴∠CBE=∠A；

（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，
∴∠CNF=90°，
由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，
∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，
在Rt△BCM中，
∵BM=5，tanM=2，
∴$BC=2\sqrt{5}$，
在Rt△CNB中，
∵$BC=2\sqrt{5}，tan∠CBE=2$，
∴CN=4，BN=2，
∵BF=2，
∴FN=BF+BN=4，
在Rt△FNC中，
∵FN=4，CN=4，
∴$CF=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理的应用，能求出∠M=∠CBE=∠A是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．