Question

16．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）写出点A、点C坐标并求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一点，当△OPA的面积是5时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，点D（3，-1），E是直线l上的一个动点，求出使|BE-DE|取得最大值时点E的坐标和最大值（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）易得A，C两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式；
（2）设△OPA底边OA上的高为h，根据绝对值的定义分两种情况解答即可；
（3）连接OD并延长交直线l于点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．

解答 解：（1）∵四边形OABC是边长为4的正方形，
∴A（4，0）和C（0，4）；
设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）
得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l的函数表达式y=-x+4； 
（2）设△OPA底边OA上的高为h，由题意等$\frac{1}{2}$×4×h=5，
∴h=$\frac{5}{2}$，
∴|-x+4|=$\frac{5}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$或$\frac{13}{2}$
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）、P₂（$\frac{13}{2}$，$-\frac{5}{2}$）；
（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接OD并延长交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE-DE|=|OE-DE|=OD，OD即为最大值，如图2．
设OD所在直线为y=k₁x  （k₁≠0），经过点D（3，-1），
∴-1=3k₁，
∴k₁=$-\frac{1}{3}$
∴直线OD为$y=-\frac{1}{3}x$，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y=-\frac{1}{3}x\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（6，-2）．   
又D点的坐标为（3，-1）
由勾股地理可得OD=$\sqrt{10}$．

点评 考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．