Question

8．在△ABC中，AB=AC，以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△DBE．（点A的对应点是点D，点C的对应点是点E）．
（1）如图1，若BD∥AC，连接CD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，若tan∠C=$\frac{4}{3}$，AB=5，连接CE，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知：AB=BD，从而得到AC=BD，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知四边形ABDC为平行四边形，然后由AB=AC可知四边形ABDC为菱形；
（2）过A作AF⊥BC于F，过E作EH⊥BC于H．由等腰三角形三线合一的性质可知CF=BF，由tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$．可求得AF=4，CF=BF=3，从而得到BC=BF+CF=6．由旋转性质得BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．由锐角三角函数的定义可求得BH和EH的长，由CH=BC-BH可求得HC=$\frac{12}{5}$．最后在CH中由勾股定理可求得CE的长．

解答 解：（1）∵由旋转的性质可知：AB=BD，AB=AC，
∴AC=BD．
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形．
又∵AB=AC，
∴四边形ABDC为菱形．
（2）如图所示：过A作AF⊥BC于F，过E作EH⊥BC于H，连接CE．

∵AC=AB=5
∴∠ACB=∠ABC
∵AF⊥BC
∴CF=BF．
在Rt△AFC中，tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$．
设AF=4a，CF=3a
∴在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=5a=5．
∴a=1．
∴AF=4，CF=BF=3a=3
∴BC=BF+CF=6．
在Rt△AFC中，sin∠ACB=$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，cos∠ACB=$\frac{CF}{AC}=\frac{3}{5}$．
由旋转性质得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．
∴sin∠DBE=$\frac{4}{5}$，cos∠DBE=$\frac{3}{5}$．
∵EH⊥BC，
∴在Rt△BHE中，EH=BE•sin∠DBE=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，BH=BE•cos∠DBE=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴CH=BC-BH=$\frac{12}{5}$．
∴在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、平行四边形、菱形的判定，锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得HE、CH的长是解题的关键．