Question

5．如图，一把宽为$\sqrt{3}$cm的直尺放在一个边长为2$\sqrt{3}$cm，一顶角为30°的菱形纸片上，尺子边缘与菱形纸片相交于点A，B，C，D，连接AC，BD它们相交于点O，则∠AOD的度数为75°．

Answer 1

分析 先得出sin15°的值，再根据特殊情况时进行分析，即当尺子正好经过菱形的对角线，进行分析解答即可．

解答 解：在Rt△ABC中，如图1：
当BC=1，∠BDC=30°，∠A=15°，∠B=90°，
∴BD=$\sqrt{3}$，DC=AD=2，
∴AB=2+$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$，
∴cos∠A=cos15°=$\frac{AB}{AC}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
当尺子正好经过菱形的对角线时，如图，
∵顶角为30°的菱形，
∴由cos15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$得：
EC=2$\sqrt{3}$cos15°=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，DC=$\frac{DF}{cos15°}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=∠BAC，
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=∠GBC=75°．
故答案为：75°

点评 此题考查菱形的性质，关键是根据尺子正好经过菱形的对角线时的特殊情况分析．