Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（3，0），且图象过点D（2，3），连结AD，点P是线段AD上一个动点，过点P作y轴平行线分别交抛物线和x轴于点E，F．连结AE，过点F作FG//AE交AD的延长线于点G．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若tan∠G＝，求点E的坐标；

（3）当△AFG是直角三角形时，求DG的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点E点坐标为（，）；（3）DG＝．

【解析】

（1）由C（3，0）、D（2，3）两点坐标利用待定系数法即可确定函数解析式；

（2）由平行线的性质可得∠EAP＝∠G，则tan∠EAP＝tan∠G＝，利用（1）中的函数解析式设出E点坐标为（m，－m2＋2m＋3），在利用正切函数得到关于m的一元二次方程，解方程即可得解；

（3）根据已知条件点P在AD上移动，当△AFG是直角三角形时，易得△APE∽△FPA，在（2）的基础上利用相似三角形的性质列出关于m的方程，从而求得PE、AP、PG以及AD的长，进一步计算即可得解．

解：（1）把C（3，0）、D（2，3）代入

得：，

解得：a＝－1，b＝2，

则

（2）∵FG//AE，

∴∠EAP＝∠G

∴tan∠EAP＝tan∠G＝

∵点A坐标为（0，3），PF//y轴

∴PF＝3，∠APE＝90°

设E点坐标为（m，－m2＋2m＋3）

∴AP＝m，PE＝－m2＋2m

∴，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴点E点坐标为（，）．

（3）点P在AD上移动，当△AFG是直角三角形时，∠AFG＝90°

∴∠EAF＝90°，易知△APE∽△FPA

∴，，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴AP＝，PE＝

∵tan∠EAP＝tan∠G

∴，

∴PG＝6，

∴DG＝PG+AP-AD=6＋－2＝

故答案是：（1）；（2）点E点坐标为（，）；（3）DG＝