Question

【题目】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．

（1）求证：AE＝BD；

（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；

（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；

（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；

（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.

（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°

∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD．

（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，

∴∠CAE＝∠CBD，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，

∴∠EAD＝90°，

在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，

∴BD2+AD2＝ED2，

∵ED＝CD，

∴BD2+AD2＝2CD2，

（3）解：连接EF，设BD＝x，

∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，

∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，

∴DF＝EF，

由 （1）、（2）可得，在Rt△FAE中，

EF＝＝＝3x，

∵AE2+AD2＝2CD2，

∴，

解得x＝1，

∴AB＝2+4．