Question

【题目】如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．

（1）求证：BP＝CQ；

（2）若BP＝PC，求AN的长；

（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4.8；（3）

【解析】

（1）证明△ABP≌△BCQ即可得到结论；

（2）证明Rt△ABN≌△Rt△C'BN求出DQ，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，利用勾股定理即可求出a；

（3）过Q点作QG⊥BM于G，设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，利用勾股定理求出MQ，再根据面积相减得到答案.

解：（1）证明：∵∠ABC＝90°

∴∠BAP+∠APB＝90°

∵BQ⊥AP

∴∠APB+∠QBC＝90°，

∴∠QBC＝∠BAP，

在△ABP于△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ（ASA），

∴BP＝CQ，

（2）由翻折可知，AB＝BC'，

连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，

∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），

∴AN＝NC'，

∵BP＝PC，AB＝8，

∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，

设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，

∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2

解得：a＝4．8，

即AN＝4．8．

（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．

设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，

∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，

∴．

∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝,

＝，

＝．