Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）（3）点M的坐标为（1，）或（1，1）

【解析】试题分析： 求出用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．根据抛物线的解析式求出设 设 列出方程，求出的值.

分两种情况进行讨论即可.

试题解析：（1）

∴

代入 ，得

解得　

∴抛物线对应二次函数的表达式为：

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．

由 得对称轴为直线x=1，

∴

∴

∴为等腰直角三角形．

∴

∴

∴

∴为等腰三角形．

设

∴

在中，

∴

∴

整理，得

解得，

∴点P的坐标为 或

（3）存在点M，使得∽．

如图，连结

∵

∴为等腰直角三角形，

∴

由（2）可知，

∴

∴分两种情况．

当 时，

∴，解得．

∴

∴

当时，

∴，解得

∴

∴

综上，点M的坐标为或