Question

【题目】矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF＝，则阴影部分的面积为_____．

Answer 1

【答案】9﹣3π

【解析】

连接OF、OE、OD，如图，在Rt△OBF中利用三角函数的定义求出∠OFB=60°，再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，所以∠BFE=120°，则∠ADE=60°，同样可得∠ADO=∠EDO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD=OA=3，所以S△ADO=；接着计算出∠AOE=120°，于是得到S扇形AO=3π，然后利用阴影部分的面积=四边形AOED的面积-扇形AOE的面积进行计算即可．

解：连接OF、OE、OD，如图，

在Rt△OBF中，∵tan∠OFB＝＝＝，

∴∠OFB＝60°，

∵BF⊥AB，

∴BF为切线，

∵DF为切线，

∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，

∴∠BFE＝120°，

∵BC∥AD，

∴∠ADE＝60°，

∵AD⊥AB，

∴AD为切线，

而DE为切线，

∴∠ADO＝∠EDO＝30°，

在Rt△AOD中，AD＝OA＝3，

∴S△ADO＝×3×3＝；

∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，

∴S扇形AOE＝＝3π，

∴阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积＝2×﹣3π＝9﹣3π．

故答案为9﹣3π．