Question

6．已知y=-2x²-4x+7，根据下列x的范围求函数y的最值
（1）-3≤x≤-2
（2）-3≤x≤0
（3）-3≤x≤3
（4）0≤x≤3．

Answer 1

分析 先求得二次函数的对称轴；
（1）根据对称轴在-3≤x≤-2内的情况，即可求得二次函数的最大值和最小值；
（2）根据对称轴在-3≤x≤0内的情况，即可求得二次函数的最大值，再根据二次函数关于对称轴对称，找到距离对称轴最远的点，即可求得当-3≤x≤0时，二次函数的最小值．
（3）根据对称轴在-3≤x≤3内的情况，即可求得二次函数的最大值，再根据二次函数关于对称轴对称，找到距离对称轴最远的点，即可求得当-3≤x≤3时，二次函数的最小值．
（4）根据对称轴在0≤x≤-2内的情况，即可求得二次函数的最大值和最小值．

解答 解：∵二次函数y=-2x²-4x+7对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=-1，且a=-2＜0，
（1）当-3≤x≤-2时，x=-3时，二次函数y有最小值为y=-2×（-3）²-4×（-3）+7=1，x=-2时，二次函数y有最大值为y=-2×（-2）²-4×（-2）+7=7；
（2）当-3≤x≤0时，x=-1时，二次函数y有最大值为y=-2×（-1）²-4×（-1）+7=9，
∵|-3-（-1）|=2，|0-（-1）|=1，
∴x=-3时，二次函数y有最小值为y=-2×（-3）²-4×（-3）+7=1；
（3）当-3≤x≤3时，x=-1时，二次函数y有最大值为y=-2×（-1）²-4×（-1）+7=9，
∵|-3-（-1）|=2，|3-（-1）|=4，
∴x=3时，二次函数y有最小值为y=-2×3²-4×3+7=-23；
（4）当0≤x≤3时，x=0时，二次函数y有最大值为y=7，x=3时，二次函数y有最小值为y=-2×3²-4×3+7=-23．

点评 本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．