【题目】将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点
(I)过边上的动点 (点不与点,重合)作交于点,沿着折叠该纸片,点落在射线上的点处.
①如图,当为中点时,求点的坐标;
②连接,当为直角三角形时,求点坐标:
(Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合),将沿所在的直线折叠,得到,连接,当取得最小值时,求点坐标(直接写出结果即可).
【答案】(I)①;②点坐标为或;(II)
【解析】
(I)①过点E做EH⊥OA ,交OA于点H,由D为OB中点结合DE∥OA,可得出DE为△BOA的中位线,再根据点A、B的坐标即可得出点E的坐标;
②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°,分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑,利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标;
(II)根据三角形的三边关系,找出当点A′在y轴上时,BA′取最小值,根据折叠的性质可得出直线OP的解析式,再根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立两直线解析式成方程组,解之即可得出点P的坐标.
(I)过点E做EH⊥OA ,交OA于点H,
①∵, ,
∴.
∵为中点,
∴D点的坐标为,
∴为的中位线,
∴点为线段的中点,
又∵,
∴EH为的中位线,
∴点H为线段OA的中点,
∴点H的坐标为,
∴点的坐标为.
②∵点,点,
∴,OB=3
∴,
∴∠B=30°,
由折叠可知:.
∴,
∴.
∵是直角三角形,
∴或
(i)当时,如图1所示
.
在中,,
∴,,
∵,
∴,.
在中, ,.
∴,
∵,
∴,.
∵.
∴点的坐标为;
(ii)当时,如图2所示.
∵,
∴,
∴.
在中, ,,
∴,
∵,
∴,.
在中, , ,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴点的坐标为.
综上所述:当为直角三角形时,点坐标为或.
(II)由折叠可知:,
∴,,
又∵,
∴当点在轴上时,取最小值,如图3所示.
∵
∴
∴直线的解析式为
设直线的解析式为,
将、代入中,
,解得:,
∴直线的解忻式为.
联立直线、的解析式成方程组,
,解得:,
∴.当取得最小值时,点坐标为.
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【题目】如图在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…若点A(,0),B(0,2),则点B2018的坐标为( )
A. (6048,0)B. (6054,0)C. (6048,2)D. (6054,2)
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【题目】已知:在正方形ABCD中,点E在 BC边上,连接 DE,以DE为直角边作等腰直角三角形EDF(∠DEF=90°),过点C作 DE的垂线,垂足为G,交AB于点H,连接 FH.
(1)如图 1,求证:四边形FECH为平行四边形
(2)如图 2,连接 DH和 AF,点 E 为 BC 中点,在不添加任何辅助线与字母的情况下,请直接写出与平行四边形FECH面积相等的所有三角形.
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【题目】某校开展课外活动,分音乐、体育、美术、制作四个活动项目,随机抽取部分学生对其选择参加的活动项目进行调查统计,制成了两幅不完整的统计图.
请根据上述统计图提供的信息,完成下列问题:
(1)这次抽查的样本容量是 ;
(2)请补全上述条形统计图,并求出扇形图中“美术”所占的圆心角度数;
(3)若该校有2000名学生,请你用此样本估计参加“艺术”类活动项目(“艺术”类活动包括“音乐”和“美术”两个项目)的学生人数约为多少人.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示.则下列结论:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t为实数);⑤点,,是该抛物线上的点,则y1<y2<y3.其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点
(I)过边上的动点 (点不与点,重合)作交于点,沿着折叠该纸片,点落在射线上的点处.
①如图,当为中点时,求点的坐标;
②连接,当为直角三角形时,求点坐标:
(Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合),将沿所在的直线折叠,得到,连接,当取得最小值时,求点坐标(直接写出结果即可).
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【题目】如图,甲、乙只捕捞船同时从A港出海捕鱼,甲船以每小时15 km的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以每小时15 km的速度沿东北方向前进.甲船航行2 h到达C处,此时甲船发现渔具丢在了乙船上,于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船,结果两船在B处相遇.问:
(1)甲船从C处出发追赶上乙船用了多少时间?
(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
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【题目】如图1,抛物线y=(x﹣m)2的顶点A在x轴正半轴上,交y轴于B点,S△OAB=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点,过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点,l交抛物线对称轴于C点,连PB交对称轴于D点,若∠BAO=∠PCD,求证:AC=2AD;
(3)如图3,以A为顶点作直角,直角边分别与抛物线交于M、N两点,当直角∠MAN绕A点旋转时,求证:MN始终经过一个定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】对于题目:在平面直角坐标系中,直线分别与轴、轴交于两点,过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点,若抛物线与线段有唯一公共点,求的取值范围.甲的计算结果是;乙的计算结果是,则( )
A.甲的结果正确B.乙的结果正确
C.甲与乙的结果合在一起正确D.甲与乙的结果合在一起也不正确
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