[题目]已知:在正方形ABCD中.点E在 BC边上.连接 DE.以DE为直角边作等腰直角三角形EDF(∠DEF=90°).过点C作 DE的垂线.垂足为G.交AB于点H.连接 FH．(1)如图 1.求证:四边形FECH为平行四边形(2)如图 2.连接 DH和 AF.点 E 为 BC 中点.在不添加任何辅助线与字母的情况下.请直接写出与平行四边形FECH面积相等的所有三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：在正方形ABCD中，点E在 BC边上，连接 DE，以DE为直角边作等腰直角三角形EDF（∠DEF=90°），过点C作 DE的垂线，垂足为G，交AB于点H，连接 FH．

（1）如图 1，求证：四边形FECH为平行四边形

（2）如图 2，连接 DH和 AF，点 E 为 BC 中点，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出与平行四边形FECH面积相等的所有三角形．

【答案】（1）证明见解析；（2）△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．

【解析】

（1）根据正方形的性质证明△ECD≌△HBC，得出ED=HC，再根据△DEF为等腰直角三角形，得出EF=CH，根据角的等量代换得出，从而有EF∥CH，即可证明结论；

（2）利用正方形的性质以及平行四边形的性质结合已知条件可用含正方形边长BC的式子表示出平行四边形的面积，再找出与其面积相等的三角形即可．

解：（1）证明：如下图，

∵正方形 ABCD

∴CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°

∵CG⊥DE

∴∠CGD=∠EGC=90°

∵∠GDC+∠GCD=90°，∠BCH+∠GCD=90°

∴∠GDC=∠BCH

∴△ECD≌△HBC

∴ED=HC

∵△DEF为等腰直角三角形

∴DE=EF，∠DEF=∠EGC=90°

∴EF=CH，EF∥CH

∴四边形 FECH 为平行四边形

（2）如下图，点 E 为 BC 中点，

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∵四边形FECH是平行四边形，

∴，

∴

∴，

由（1）可知，△ECD≌△HBC，

∴

∴，

∵

∴与平行四边形FECH面积相等的三角形有：△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．

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