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【题目】将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点

(I)过边上的动点 (不与点重合)于点,沿着折叠该纸片,点落在射线上的点处.

①如图,当中点时,求点的坐标;

②连接,当为直角三角形时,求点坐标:

(Ⅱ)边上的动点(不与点重合),将沿所在的直线折叠,得到,连接,当取得最小值时,求点坐标(直接写出结果即可)

【答案】I)①;②点坐标为;(II

【解析】

I)①过点EEHOA ,交OA于点H,由DOB中点结合DEOA,可得出DEBOA的中位线,再根据点AB的坐标即可得出点E的坐标;

②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°,分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑,利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E的坐标;

II)根据三角形的三边关系,找出当点A′y轴上时,BA′取最小值,根据折叠的性质可得出直线OP的解析式,再根据点AB的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立两直线解析式成方程组,解之即可得出点P的坐标.

I)过点EEHOA ,交OA于点H

①∵

中点,

D点的坐标为

的中位线,

∴点为线段的中点,

又∵

EH的中位线,

∴点H为线段OA的中点,

∴点H的坐标为

∴点的坐标为

②∵点,点

OB=3

∴∠B=30°

由折叠可知:

是直角三角形,

i)当时,如图1所示

中,

中,

∴点的坐标为

(ii)时,如图2所示.

中,

中,

∴点的坐标为

综上所述:为直角三角形时,点坐标为

II)由折叠可知:

又∵

∴当点轴上时,取最小值,如图3所示.

∴直线的解析式为

设直线的解析式为

代入中,

,解得:

∴直线的解忻式为

联立直线的解析式成方程组,

,解得:

∴.当取得最小值时,点坐标为

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