【题目】在平面直角坐标系xoy中,点A (-4,-2),将点A向右平移6个单位长度,得到点B.
(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,求此时抛物线的表达式;
(2)在(1)的条件下的抛物线顶点为C,点D是直线BC上一动点(不与B,C重合),是否存在点D,使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似?若存在,请求出此时D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动,当抛物线与线段有且只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t的取值范围.
【答案】(1)y=-x2-2x+6;(2)存在,D (,
);(3)-4≤t<-3或0<t≤5.
【解析】
(1)根据点A的坐标结合线段AB的长度,可得出点B的坐标,根据点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)由抛物线解析式,求出顶点C的坐标,从而求出直线BC解析式,设D (d,-3d+4),
根据已知可知AD=AB=6时,△ABC∽△BAD,从而列出关于d的方程,解方程即可求解;
(3)将抛物线的表达式变形为顶点时,依此代入点A,B的坐标求出t的值,再结合图形即可得出:当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围.
(1)∵点A的坐标为(-4,-2),将点A向右平移6个单位长度得到点B,
∴点B的坐标为(2,-2).
∵抛物线y=-x2+bx+c过点,
∴, 解得
∴抛物线表达式为y=-x2-2x+6
(2)存在.
如图
由(1)得,y=-x2-2x+6=-(x+1)2+7,
∴C (-1,7)
设直线BC解析式为y=kx+b
∴解之得,
∴lBC:y=-3x+4
设D (d,-3d+4),
∵在△ABC中AC=BC
∴当且仅当AD=AB=6时,两三角形相似
即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36时,△ABC∽△BAD,
解之得,d1=、d2=2(舍去)
∴存在点D,使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似,此时点D (,
);
(3)如图:
抛物线y=-x2+bx+c顶点在直线上
∴抛物线顶点坐标为
∴抛物线表达式可化为.
把代入表达式可得
解得.
又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点,
∴-4≤t<-3.
把代入表达式可得
.
解得,
又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点,
∴0<t≤5.
综上可知的取值范围时-4≤t<-3或0<t≤5.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系
中,直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
经过
,
两点,与
轴的另一交点为点
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点为直线
下方抛物线上一动点.
①如图2所示,直线交线段
于点
,求
的最小值;
② 如图3所示,连接过点
作
于
,是否存在点
,使得
中的某个角恰好等于
的2倍?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点
,点
,点
(I)过边上的动点
(点
不与点
,
重合)作
交
于点
,沿着
折叠该纸片,点
落在射线
上的点
处.
①如图,当为
中点时,求
点的坐标;
②连接,当
为直角三角形时,求
点坐标:
(Ⅱ)是
边上的动点(点
不与点
重合),将
沿
所在的直线折叠,得到
,连接
,当
取得最小值时,求
点坐标(直接写出结果即可).
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-
C.m>﹣
D.m>2
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【题目】如图1,抛物线y=(x﹣m)2的顶点A在x轴正半轴上,交y轴于B点,S△OAB=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点,过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点,l交抛物线对称轴于C点,连PB交对称轴于D点,若∠BAO=∠PCD,求证:AC=2AD;
(3)如图3,以A为顶点作直角,直角边分别与抛物线交于M、N两点,当直角∠MAN绕A点旋转时,求证:MN始终经过一个定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】将一矩形纸片放在直角坐标系中,
为原点,
在
轴上,
,
.
(1)如图①,在上取一点
,将
沿
折叠,使点
落在
边上的
点,求
点的坐标;
(2)如图②,在、
边上选取适当的点
、
,将
沿
折叠,使
点落在
边上
点,过
作
交
于
点,交
于
点,设
的坐标为
,求
与
之间的函数关系式,并直接写出自变量
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若,求
的面积.(直接写出结果即可)
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【题目】在中,
是直线
上的一点,连接
过点
作
交直线
于点
.
当点
在线段
上时,如图①,求证:
;
当点
在直线
上移动时,位置如图②、图③所示,线段
与
之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点,顶点为P,连接OP、BP,直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)写出点B坐标;判断△OBP的形状;
(2)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度,平移的过程中交y轴于点A,分别连接CP、DP;
(i)若抛物线向下平移m个单位长度,当S△PCD= S△POC时,求平移后的抛物线的顶点坐标;
(ii)在平移过程中,试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系,直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.
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【题目】如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
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