Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，点A (-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.

（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D (,)；（3）-4≤t＜-3或0＜t≤5．

【解析】

（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）由抛物线解析式，求出顶点C的坐标，从而求出直线BC解析式，设D (d,-3d+4)，

根据已知可知AD=AB=6时，△ABC∽△BAD，从而列出关于d的方程，解方程即可求解；

（3）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．

（1）∵点A的坐标为（-4，-2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，

∴点B的坐标为（2，-2）．

∵抛物线y＝-x2+bx＋c过点，

∴, 解得

∴抛物线表达式为y＝-x2-2x＋6

（2）存在.

如图

由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，

∴C (-1,7)

设直线BC解析式为y＝kx＋b

∴解之得，

∴lBC：y＝-3x＋4

设D (d,-3d+4)，

∵在△ABC中AC=BC

∴当且仅当AD=AB=6时，两三角形相似

即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36时，△ABC∽△BAD，

解之得，d1=、d2=2(舍去)

∴存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似，此时点D (,)；

（3）如图：

抛物线y＝-x2+bx＋c顶点在直线上

∴抛物线顶点坐标为

∴抛物线表达式可化为．

把代入表达式可得

解得．

又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，

∴-4≤t＜-3．

把代入表达式可得．

解得，

又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，

∴0＜t≤5．

综上可知的取值范围时-4≤t＜-3或0＜t≤5．