Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE

（1）求证：直线CG为⊙O的切线；

（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，

①△CBH∽△OBC

②求OH＋HC的最大值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.

【解析】

（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；

（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OH+HC=4+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．

（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CG是⊙O的切线；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HBOC=4HB，

∴HB=，

∴OH=OB-HB=4-

∵CB=CH，

∴OH+HC=4+BC，

当∠BOC=90°，

此时BC=4

∵∠BOC＜90°，

∴0＜BC＜4，

令BC=x则CH=x，BH=

当x=2时，

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5