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【题目】如图(1),在矩形中,分别是的中点,作射线,连接.

1)请直接写出线段的数量关系;

2)将矩形变为平行四边形,其中为锐角,如图(2),分别是的中点,过点交射线于点,交射线于点,连接,求证:

3)写出的数量关系,并证明你的结论.

【答案】1MDMC;(2)见解析;(3)∠BME3AEM,证明见解析.

【解析】

1)由“SAS”可证△ADM≌△BCM,可得MDMC

2)由题意可证四边形ADNM是平行四边形,可得ADMN,可得EFFCMFEC,由线段垂直平分线的性质可得MEMC

3)由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠BME3AEM

解:(1)∵四边形ABCD是矩形,

ADBC,∠A=∠B90°,

∵点MAB中点,

AMBM

∴△ADM≌△BCMSAS),

MDMC

2)∵MN分别是ABCD的中点,

AMBMCNDN

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCDABCD

DNAMCNBM

∴四边形ADNM是平行四边形,

ADMN

,∠AEC=∠NFC90°,

EFCF,且MFEC

MEMC

3)∠BME3AEM

证明:∵EMMCEFFC

∴∠EMF=∠FMC

AB2BCMAB中点,

MBBC

∴∠BMC=∠BCM

MNADADBC

ADMNBC

∴∠AEM=∠EMF,∠FMC=∠BCM

∴∠AEM=∠EMF=∠FMC=∠BCM=∠BMC

∴∠BME3AEM.

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