Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠B=90，∠ACB=30，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．

（1）求证：△ACD为直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据勾股定理求出BC的长度，再根据勾股定理逆定理得出△ACD为直角三角形；

（2）根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，列式进行计算即可得解．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∴BC2+AB2=AC2（勾股定理），∴．

∵AD=2AC，DC=2BC，∴AD=8，，∴AC2+CD2=16+48=64，AD2=64，∴AD2=AC2+CD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．

（2）∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，∴．