【题目】在平面直角坐标系中,我们定义:横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图,已知双曲线经过点,记双曲线与两坐标轴之间的部分为(不含双曲线与坐标轴).
(1)求的值;
(2)求内整点的个数;
(3)设点在直线上,过点分别作平行于轴轴的直线,交双曲线于点,记线段、双曲线所围成的区域为,若内部(不包括边界)不超过个整点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)内整点的个数为个;(3)若内部(不包括边界)不超过个整点,
【解析】
(1)利用待定系数法即可求解;
(2)将G内x=1,2,3,4分别代入双曲线,即可求出整点;
(3)根据m的情况进行分类讨论,具体见解析.
(1)∵经过点A(2,2),
∴,
∴,
(2)对于双曲线 ,
当时,,
在直线上,当0时,有整点(1,1)、(1,2)、(1,3),
当时,,
在直线上,当0时,有整点(2,1),
当时,,
在直线上,当0时,有整点(3,1),
当时,,
在直线上,当0时,没有整点.
∴G内整点的个数为5个.
(3)如图,当时,点B(4,4), 点C(1,4)此时在区域W内(不包含边界)有(2,3)、(3,2)、(3,3)共3个整点,线段BD上有4个整点,线段BC上有4个整点,
∵点(4,4)重合,点(4,1)(1,4)在边界上,
∴当时,区域W内至少有3+4+4-3=8个整点,
当时,B'(4.5,5),C(),
线段B'C'上有4个整点,此时区域W内整点个数为8个,
当时,区域W内部整点个数增加,
若W内部(不包括边界)不超过8个整点,.
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【题目】将一个直角三角形纸片,放置在平面直角坐标系中,点,点,点
(I)过边上的动点 (点不与点,重合)作交于点,沿着折叠该纸片,点落在射线上的点处.
①如图,当为中点时,求点的坐标;
②连接,当为直角三角形时,求点坐标:
(Ⅱ)是边上的动点(点不与点重合),将沿所在的直线折叠,得到,连接,当取得最小值时,求点坐标(直接写出结果即可).
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【题目】在中, 是直线上的一点,连接过点作交直线于点.
当点在线段上时,如图①,求证:;
当点在直线上移动时,位置如图②、图③所示,线段与之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点,顶点为P,连接OP、BP,直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)写出点B坐标;判断△OBP的形状;
(2)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度,平移的过程中交y轴于点A,分别连接CP、DP;
(i)若抛物线向下平移m个单位长度,当S△PCD= S△POC时,求平移后的抛物线的顶点坐标;
(ii)在平移过程中,试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系,直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.
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【题目】对于题目:在平面直角坐标系中,直线分别与轴、轴交于两点,过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点,若抛物线与线段有唯一公共点,求的取值范围.甲的计算结果是;乙的计算结果是,则( )
A.甲的结果正确B.乙的结果正确
C.甲与乙的结果合在一起正确D.甲与乙的结果合在一起也不正确
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形的位置如图所示,点的坐标为,点的坐标为,延长交轴于点,作正方形;延长交轴于点,作正方形;…,按照这样的规律作正方形,则点的纵坐标为__________.
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【题目】某校九年级( 3 )班全体学生 2019 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表:
成绩 | 35 | 39 | 42 | 43 | 45 | 49 | 50 |
人数 | 3 | 5 | 6 | 6 | 8 | 7 | 5 |
根据上表中的信息判断,下列结论中错误的是 ( )
A.该班一共有 40 名同学B.该班学生这次考试成绩的众数是 45 分
C.该班学生这次考试成绩的中位数是 44 分D.该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分
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【题目】如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图1,已知抛物线y=ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,﹣3),对称轴是直线x=1,△ACB的外接圆M交y轴的正半轴与点D,连结AD、CM,并延长CM交x轴于点E.
(1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式;
(2)求证:△CAD∽△CEB;
(3)如图2,P为x轴正半轴上的一个动点,OP=t,(0<t<3),过P点与y轴平行的直线交抛物线与点Q,若△QAD的面积为S,写出S与t的函数表达式,问:当t为何值时,△QAD的面积最大,且最大面积为多少?
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