Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx-1经过点A（2，-1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）由点A（2，-1）在抛物线y=ax²+bx-1，代入即可；
（2）由于点C是直线y=x+1和抛物线对称轴x=1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC²=CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标，即可．

解答 解：（1）∵点A（2，-1）在抛物线y=ax²+bx-1上，
∴4a+2b-1=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴对称轴为x=1，
∴B（1，0）．
（2）∵直线y=x+1与此抛物线的对称轴x=1交于点C，
∴C（1，2），
∴BC=2，
∵∠DEB=45°，∠xBA=45°，
∴∠BCD=∠CBA=135°，
∵∠BDC=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC²=CD×AB，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
设点D（m，m+1），
∵C（1，2），
∴（m-1）²+（m+1-2）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴m=3或m=-1（舍），
∴D（3，4），
∵点D在抛物线y=ax²+bx-1上，
∴9a+3b-1=4，
∵4a+2b-1=-1，
∴a=$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{10}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{5}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x-1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了确定抛物线解析式，对称轴的方法，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判定三角形相似．