Question

20．如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，E是AB上一点，且BC=AE，∠1=∠2，则：
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
（2）△DEC是不是等腰直角三角形？说明理由．
（3）若DC=10，P为DC的中点，求PE的长度．

Answer 1

分析 （1）利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BEC．
（2）△DEC是等腰直角三角形，证明∠DEC=90°，即可解答；
（3）利用在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可解答．

解答 解：（1）∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△DAE和Rt△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴Rt△DAE≌Rt△EBC．
（2）△DEC是等腰直角三角形，
∵Rt△DAE≌Rt△EBC．
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=180°-（∠BEC+∠AED）=90°，
∵∠1=∠2，
∴DE=CD，
∴△DEC是等腰直角三角形．
（3）如图，

∵△DEC是等腰直角三角形．CD=10，P是CD的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×10$=5（在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半）．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明Rt△ADE≌Rt△BEC．