Question

【题目】如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA、PB、PC，以 BP 为边作∠PBQ＝60°，且 BQ＝BP，连接 CQ．

（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明理由．

（2）若 PA＝3，PB＝4，PC＝5，∠BQC＝ ．（请直接写出∠BQC 的度数）

Answer 1

【答案】（1）AP=CQ，理由见解析；（2）150°

【解析】

（1）根据“SAS”证明△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；

（2）连接PQ．证明△PBQ为等边三角形，得∠PQB=60°；根据三边长度可证△PQC为直角三角形，得∠PQC=90°．

解：（1）AP=CQ，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°．

∵∠PBQ=60°，

∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

（2）连接PQ．

∵BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△PBQ是等边三角形，

∴∠PQB=60°，PQ=PB=4．

又∵CQ=PA=3，PC=5，52=32+42，即PC2=PQ2+CQ2，

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，

∴∠BQC=60°+90°=150°．