Question

9．如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F，CP⊥AD于P，PF=3，EF=1．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠CFD的度数；
（3）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC是等边三角形，那么有AB=AC，∠CAE=∠B=60°，而AE=BD，利用SAS可证△ABD≌△CAE，根据全等三角形性质得到结论；
（2）由△ABD≌△CAE，从而有∠EAD=∠ACE，根据∠CFD=∠ACE+∠BAD，∠BAD+∠CAD=60°等量代即可求得结果；
（3）在Rt△CPF，由于∠CFD=60°，于是可求CF，进而可求CE，而AD=CE，那么有AD=CE=7．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAE=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠CAE}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE；

（2）由△ABD≌△CAE，
∴∠EAD=∠ACE，
∵∠CFD=∠ACE+∠BAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFD=∠ACE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°；

（3）∵CP⊥AD，
∴∠CPF=90°，
∵∠CFD=60°，
∴CF=2PF=2×3=6，
∴CE=CF+EF=6+1=7，
由（1）知：AD=CE，
∴AD=7．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD．