Question

1．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根据三角形的面积公式求出高DE，在△ODE中，根据勾股定理求出OE即可．

解答 （1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵CD=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴cos30°=$\frac{CD}{BC}$，
∴BC=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，
1×$\sqrt{3}$=2DE，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知识点的综合运用．