Question

4．观察下列等式：
12×231=132×21，14×451=154×41，32×253=352×23，34×473=374×43，45×594=495×54，…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①35×583=385×53；②26×682=286×62．
（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m，个位数字为n，且2≤m+n≤9，用含m，n的代数式表示数字对称式左边的两位数的乘积P，并求出P能被110整除时mn的值．

Answer 1

分析 （1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行解答即可

解答 解：（1）①∵5+3=8，
∴左边的三位数是583，右边的三位数是385，
∴35×583=385×53，
②∵左边的三位数是286，
∴左边的两位数是26，右边的两位数是62，
26×682=286×62．
（2）∵左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，
∴左边的两位数是10m+n，三位数是100n+10（m+n）+m，
右边的两位数是10n+m，三位数是100m+10（m+n）+n，
∴P=（10m+n）×[100n+10（m+n）+m]=1100mn+110m²+110n²+11mn；
则$\frac{P}{110}$=10mn+m²+n²+$\frac{mn}{10}$，
P能被110整除，则mn能被10整除，
且2≤m+n≤9，
故mn=2×5=10或mn=4×5=20．

点评 此题考查因式分解的实际运用，数字变化规律，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．