【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,AD、BC的延长线交于点F,点E在CF上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=AC时,若CE=4,EF=6,求⊙O的半径.
【答案】(1)DE是⊙O的切线(2)
【解析】
(1)先判断出BD是圆O的直径,再判断出BD⊥DE,即可得出结论;(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF,根据等腰三角形的性质得到DE=EF=3,根据勾股定理得到CD的长,再由相似三角形的性质即可得到结论.
(1)如图,连接BD,
∵∠BAD=90°,
∴点O必在BD上,即:BD是直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠DEC+∠CDE=90°,
∵∠DEC=∠BAC,
∴∠BAC+∠CDE=90°,
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠BDC+∠CDE=90°,
∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE,
∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵∠BAF=∠BDE=90°,
∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB,
∴∠F=∠EDF,
∴DE=EF=6,
∵CE=4,∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,
∴CD= ,
∵∠BDE=90°,CD⊥BE,
∴△CDE∽△CBD,
∴,
∴BD,
∴⊙O的半径=.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线y=﹣x+4和点M(3,2)
(1)判断点M是否在直线y=﹣x+4上,并说明理由;
(2)将直线y=﹣x+4沿y轴平移,当它经过M关于坐标轴的对称点时,求平移的距离;
(3)另一条直线y=kx+b经过点M且与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n,当y=kx+b随x的增大而增大时,则n取值范围是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线为抛物线、b、c为常数,的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点点A在点B的左侧,与x轴负半轴交于点C.
填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______;
如图,点M为线段CB上一动点,将以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在正方形纸片ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,沿过点B的直线折叠,使点C落在EF上,落点为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点P,再展开.则下列结论中:①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等边三角形.
正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接求证:的面积为提示:过点D作BC边上的高DE,可证≌
探究2:如图2,在一般的中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接请用含a的式子表示的面积,并说明理由.
探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接试探究用含a的式子表示的面积,要有探究过程.
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【题目】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,求大树CD的高度?(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D是线段AB上的一点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.给出以下四个结论:①②若点D是AB的中点,则AF=AB;③当B,C,F,D四点在同一个圆上时,DF=DB;④若,则,其中正确的结论序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
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【题目】近几年购物的支付方式日益增多,某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示,支付方式有:A微信、B支付宝、C现金、D其他,该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计,得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次一共调查了多少名购买者?
(2)请补全条形统计图;在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度.
(3)若该超市这一周内有1600名购买者,请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名?
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左、右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等.
(1)(a+b)n展开式中项数共有 项.
(2)写出(a+b)5的展开式:(a+b)5= .
(3)利用上面的规律计算:25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1.
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