Question

【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等．

（1）（a+b）n展开式中项数共有　 　项．

（2）写出（a+b）5的展开式：（a+b）5＝　 　．

（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．

Answer 1

【答案】（1）n+1；（2）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（3）1.

【解析】

（1）根据规律，可知n+1项；

（2）根据规律，可知（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（3）根据规律得出原式＝（2﹣1）5．

解：（1））（a+b）n展开式中项数共有n+1项，

故答案为n+1；

（2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

故答案为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1

＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5

＝（2﹣1）5

＝1．