Question

19．定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．

（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S₁和S₂；
①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S₁=S₂；
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S₁与S₂是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，即可得出△ABC≌△DFC而得出结论；
②如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论；
（2）根据（1）可以得出S=3S_△ABC，要使S最大，就要使S_△ABC最大，当∠ACB=90°时S_△ABC最大，即可求出结论．

解答 （1）①证明：∵正方形ACDE和正方形BCFG，
∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠ACB=∠DCF=90°．
在△ABC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACB=∠DCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DFC（SAS）．
∴S_△ABC=S_△DFC，
∴S₁=S₂．          
②解：S₁=S₂．                                                        
理由如下：
如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．
∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，
∴AC=CD，BC=CF，
∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．
∴∠ACP=∠DCQ．
在△APC和△DQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠DQC}\\{∠ACP=∠DCQ}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
∴BC×AP=DQ×FC，
∴$\frac{1}{2}$BC×AP=$\frac{1}{2}$DQ×FC
∵S₁=$\frac{1}{2}$BC×AP，S₂=$\frac{1}{2}$FC×DQ，
∴S₁=S₂；  
（2）解：S的值是否发生变化；S的最大值为18；理由如下：
由（1）得，S是△ABC面积的三倍，
要使S最大，只需△ABC的面积最大，
∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°时，S有最大值．       
此时，S=3S_△ABC=3×$\frac{1}{2}$×3×4=18．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．