Question

7．如图，二次函数y=（x-2）²+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S_△ABP=S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先将点A（1，0）代入y=（x-2）²+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）假设存在点P，设点P（a，a²-4a+3），根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．

解答 解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）²+m得（1-2）²+m=0，
解得m=-1．
所以二次函数解析式为y=（x-2）²-1；
当x=0时，y=4-1=3，
所以C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=2，
所以B点坐标为（4，3），
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
所以一次函数解析式为y=x-1；
（2）假设存在点P，设点P（a，a²-4a+3），
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，
∴$\frac{|0-3-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|a-{a}^{2}+4a-3-1|}{\sqrt{2}}$
即-a²+5a-4=4，-a²+5a-4=-4
解得：a=0或a=5，
则a²-4a+3=3或8，
∴P点坐标为（5，8）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．