Question

14．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的个数是（　　）
①AC⊥DE；②$\frac{BE}{HE}$=$\frac{1}{2}$；③CD=2DH；④$\frac{{S}_{△BEH}}{{S}_{△BEC}}$=$\frac{DH}{AC}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因为∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以$\frac{BE}{HE}≠\frac{1}{2}$，不成立，故②错误；根据①可判定△ACD≌△ACE，全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确．

解答 解：∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵由证①中已知，∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAC=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴$\frac{MH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴$\frac{MH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴$\frac{{S}_{△BEH}}{{S}_{△BEC}}$=$\frac{MH}{BC}=\frac{DH}{AC}$，故④正确，
∴结论正确的个数是3．
故选C．

点评 此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．